ค่าเชิงอนุพันธ์
จาก ฟังก์ชันตัวแปรเดียว $y=f(x) $ ค่าเชิงอนุพันธ์ ของ $y$ คือ $dy = f'(x) dx $ เมื่อ $f $ หาอนุพันธ์ได้ ที่ $x $
สำหรับ ฟังก์ชันสองตัวแปร $z=f(x,y) $ จะนิยาม ค่าเชิงอนุพันธ์ ของ $z$ คือ $$ dz = f_x (x,y) dx + f_y (x,y) dy $$ เมื่อ $f(x,y) $ หาอนุพันธ์ได้ที่จุด $(x,y) $
กรณี ฟังก์ชัน เกินกว่า สองตัวแปรก็สามารถนิยามได้ในทำนองเดียวกัน
ตัวอย่าง
จงหาค่าเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
$1. f(x,y) \quad = x^2 e^y \\
2. f(x,y,z) \quad = \cos x + y^3 \ln z $
วิธีทำ
$1. d f(x,y) \quad = f_x (x,y) dx + f_y (x,y) dy \quad = 2x e^y dx + x^2e^y dy \\
2. df(x,y,z) \quad = f_x (x,y,z)dx + f_y (x,y,z) dy +f_z (x,y,z) dz \quad = - \sin x dx + 3y^2 \ln z dy + \frac{y^3}{z} dz $
การประมาณค่าฟังก์ชัน
เช่นเดียวกันกับฟังก์ชันตัวแปรเดียว เราสามารถ ใช้ ค่าเชิงอนุพันธ์ฟังก์ชัน ประมาณ ส่วนเปลี่ยนแปลของฟังก์ชัน นั่นคือ
$ f(x+\Delta x, y +\Delta y) - f(x,y) \quad = \Delta f \quad \approx d f(x,y) $ เมื่อ $(\Delta x , \Delta y ) \to (0,0) $
ดังนั้น ในการ ประมาณค่า ฟังก์ชัน $f(x+\Delta x ,y + \Delta y ) $ เมื่อ $(\Delta x , \Delta y ) \to (0,0) $
สามารถประมาณได้จาก
$$f(x+\Delta x ,y + \Delta y ) \quad \approx f(x,y) + d f(x,y) \quad = f(x,y) + f_x (x,y) dx + f_y (x,y) dy $$
กรณี ฟังก์ชัน เกินกว่าสองตัวแปร ก็สามารถประมาณได้ในทำนองเดียวกัน
ตัวอย่าง
จงประมาณค่า $\sqrt{(0.98)^2+(2.01)^2+(1.97)^2 }$ โดยใช้ค่าเชิงอนุพันธ์
วิธีทำ
ให้ $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2 }$
ดังนั้น
$\sqrt{(0.98)^2+(2.01)^2+(1.97)^2 } \quad = f(0.98,2.01,1.97) \quad = f(1+(-0.02) ,2+(0.01) , 2+(-0.03) )\\
\quad \approx f(1,2,2) + f_x (1,2,2 ) (-0.02) + f_y (1,2,2) (0.01) + f_z (1,2,2) (-0.03) $
จาก $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2 }$ จะได้ $f(1,2,2) = \sqrt{1^2+2^2+2^2 } = 3 $ และ
$f_x (x,y,z) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2 }} , \quad f_y (x,y,z) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2 }} , \quad f_z (x,y,z) = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2 }} \quad $
ดังนั้น $ f_x (1,2,2) = \frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2 }} \quad = \frac{1}{3} ,\\
f_y (1,2,2) = \frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2 }} \quad = \frac{2}{3}, \\
f_z (1,2,2) = \frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2 }} \quad = \frac{2}{3}$
จึงได้ว่า $\sqrt{(0.98)^2+(2.01)^2+(1.97)^2 } \quad \approx 3 + \frac{-2}{300}+\frac{2}{300}+\frac{-6}{300} = 2.98 $
แบบฝึกหัด
จงใช้ค่าเชิงอนุพันธ์ ประมาณค่าดังต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \quad \sqrt[3]{7.78} \sqrt{9.03} &&
2. \quad \sin 0.01 \cos 0.99 \pi \\
&3. \quad \sqrt{20-(1.95)^2-7(1.08)^2}&&
4. \quad \sqrt{ (3.02)^2+(1.97)^2+(5.99)^2}\\
&5. \quad 8.94 \sqrt{9.99-(1.01)^3 }&&
6. \quad (1.98)^3 \sqrt{ (3.01)^2+(3.97)^2}\\
\end{align}
$