ค่าเชิงอนุพันธ์ (Differentials )

บทนิยาม

ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ ถ้า $\frac{d}{dx} f(x) =f '(x)$ หาค่าได้ แล้วจะเรียก
$dx = \Delta x$ ว่า " ค่าเชิงอนุพันธ์ ของ $x$"
และเรียก
$dy= f '(x) dx $ ว่า " ค่าเชิงอนุพันธ์ ของ $y$"
สูตรในการหาค่าเชิงอนุพันธ์ สามารถหาได้จากสูตรของอนุพันธ์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ให้ $u,v$ เป็นฟังก์ชันของ $ x $ และ $a$ เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า
$ \begin{align} & สูตรอนุพันธ์ && สูตรค่าเชิงอนุพันธ์ \\ & \frac{da}{dx}=0 && da = 0 \\ & \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx} && d(u+v) = du+dv \\ & \frac{d}{dx}(u v)=u\frac{dv}{dx}+v \frac{du}{dx} && d(u v) = udv+vdu \\ & \frac{d}{dx}(\frac{u}{ v})=\frac{v\frac{du}{dx}- u\frac{dv}{dx}}{v^2} && d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu-udv}{v^2} \\ & \frac{d}{dx} u^n = nu^{n-1} && du^n=nu^{n-1} du \\ \end{align} $

ตัวอย่าง

จงหาค่า $dy $ เมื่อ $y=f(x)$
$ \begin{align} &1. y = x^4+3x^2+5x+6 & & 2. y = \sin (3x^2+5) + x e^x + 7 \\ & 3. \frac{y}{x} = y \cos x + \ln x & & 4. \tan(x+y) = 3x^2 y +e^x \\ \end{align} $

การประยุกต์

การหาค่าประมาณ
จาก $\Delta y = f( x+\Delta x ) - f(x) $ เราจะใช้ $dy$ ประมาณ $\Delta y $ เมื่อ $\Delta x = dx \to 0$ นั่นคือ
$\Delta y = f( x+\Delta x ) - f(x) \approx dy $ จะได้ว่า $$ f( x+\Delta x ) \approx f(x) + dy = f(x) + f'(x) dx $$

ตัวอย่าง

จงใช้ค่าเชิงอนุพันธ์ประมาณค่าดังต่อไปนี้
$ \begin{align} &1. \sqrt{81.1} & & 2. \sqrt[4]{624} +\sqrt{624}\\ & 3. \frac{1}{999}& & 4. \cos 61^{ \circ } เมื่อ 1^{ \circ } \approx 0.01745 \\ \end{align} $
วิธีทำ 2
วิธีทำ 4
การหาค่าผิดพลาด
ให้ $y=f(x)$ และ $dx $ เป็นค่าผิดพลาดของ $x$ จะได้ว่า
$dy $  เป็นค่าผิดพลาดของ $y$
$\frac{dy}{y} $  เป็นค่าผิดพลาดสัมพัทธ์ ของ $y$ และ
$\frac{dy}{y} \times 100$   เป็นค่าผิดพลาดร้อยละของ $y$

ตัวอย่าง

ถ้าวัดรัศมีของทรงกลมได้ 10 ซม. แต่มีค่าผิดพลาดในการวัด $\pm 0.01$ ซม. แล้ว
จงหาค่าผิดพลาดของปริมาตรทรงกลม และ ค่าผิดพลาดร้อยละของ ปริมาตรทรงกลม

แบบฝึกหัด

จงหาค่า $ dy $ ในข้อต่อไปนี้
$ \begin{align} &1. y = x^2 \sin 3x & & 2. y = \ln \sqrt{4+t^2} \\ & 3. y = \frac{u^2+1}{u^4+1} & & 4. y = e^{\cos u} \\ & จงหาค่า \quad dy \quad และ \quad \Delta y \quad ในข้อต่อไปนี้ \\ &5. y = 3x - x^2 , \quad เมื่อ \quad x = 1 , \Delta x = -0.2 & & 6. y = \frac{3}{x} , \quad เมื่อ \quad x = 6 , \Delta x = 0.1 \\ & จงใช้ค่าเชิงอนุพันธ์ประมาณค่าดังต่อไปนี้ \\ & 7. (8.06)^{2/3} & & 8. \frac{1}{1001} \\ & 9. \sqrt{122} & & 10. \sin 59^{ \circ } \quad เมื่อ \quad 1^{ \circ } \approx 0.01745 \\ \end{align} $