อนุพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งตัวแปร

บทนิยาม

ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ ถ้า $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$ หาค่าได้เป็นจำนวนจริง แล้ว จะกล่าวว่า " ฟังก์ชัน $y$ หรือ $f(x)$ หา อนุพันธ์ได้ ที่ $x=a$ "
เขียนแทน   $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$  ด้วย   $f'(a) $
ถ้าให้ $\Delta x = x-a $ แล้ว
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} = \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$ เมื่อ $h=\Delta x$
ดังนั้นจะใช้สัญลักษณ์ $f'(x) $ แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)$ ที่ $ x $ ใด ๆ
นั่นคือ $$ f'(x) = \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ สามารถเขียนแทน $f'(x) $ ด้วย $\frac{d}{dx} f(x) $ หรือ $\frac{d}{dx} y $ หรือ $\frac{df(x)}{dx} $ หรือ $\frac{dy}{dx} $

บทนิยาม

ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ ถ้า $$ \lim_{x \to a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$ หาค่าได้เป็นจำนวนจริง แล้ว จะกล่าวว่า " ฟังก์ชัน $y$ หรือ $f(x)$ หา อนุพันธ์ด้านซ้ายได้ ที่ $x=a$ "
เขียนแทน   $ \lim_{x \to a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$  ด้วย   $f'(a^{-}) $
ถ้าให้ $\Delta x = x-a $ แล้ว
$$ \lim_{x \to a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{\Delta x \to 0^{-} } \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} = \lim_{h \to 0^{-} } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$ เมื่อ $h=\Delta x$

บทนิยาม

ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ ถ้า $$ \lim_{x \to a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$ หาค่าได้เป็นจำนวนจริง แล้ว จะกล่าวว่า " ฟังก์ชัน $y$ หรือ $f(x)$ หา อนุพันธ์ด้านขวาได้ ที่ $x=a$ "
เขียนแทน   $ \lim_{x \to a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$  ด้วย   $f'(a^{+}) $
ถ้าให้ $\Delta x = x-a $ แล้ว
$$ \lim_{x \to a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{\Delta x \to 0^{+} } \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} = \lim_{h \to 0^{+} } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$ เมื่อ $h=\Delta x$

ตัวอย่าง

ให้ $y=f(x)=3x^2 $ จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)$
1. ที่ $x $ ใดๆ
2. ที่ $x=4$
วิธีทำ

ตัวอย่าง

ให้ $y=f(x)= |x| $ จงหา
1. อนุพันธ์ด้านซ้ายของฟังก์ชัน $f(x)$ที่ $x =0 $
2. อนุพันธ์ด้านขวาของฟังก์ชัน $f(x)$ที่ $x =0 $
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)$ที่ $x =0 $
วิธีทำ

อนุพันธ์ของพีชคณิตฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท

$ \begin{align} & ถ้า y=f(x) = C แล้วจะได้ว่า \frac{dy}{dx} = \frac{dC}{dx}=0 \\ & ถ้า y=f(x) = x แล้วจะได้ว่า \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx}=1 \\ \end{align} $
พิสูจน์ 1
พิสูจน์ 2

ทฤษฎีบท(อนุพันธ์ของพีชคณิตฟังก์ชัน)

ถ้า $ u=u(x) $ และ $ v=v(x) $ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ แล้วจะได้ว่า
$ \begin{align} & 1. \frac{d}{dx} (u+v) = \frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx} \\ & 2. \frac{d}{dx} (u \cdot v) = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx} \\ & 3. \frac{d }{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{v \cdot \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{dv}{dx} }{v^2}\\ \end{align} $

หมายเหตุ

จากทฤษฎีบทของอนุพันธ์ของพีชคณิตฟังก์ชัน ทำให้ได้ว่า
$ \begin{align} & 1. \frac{d}{dx} (C \cdot u) = C \cdot \frac{du}{dx} \\ & 2. \frac{d}{dx} (u-v) = \frac{du}{dx}-\frac{dv}{dx} \\ & 3. \frac{d}{dx} x^n =nx^{n-1} \\ \end{align} $

ตัวอย่าง

จงหา $\frac{dy}{dx}$ เมื่อ $y=f(x)$ ต่อไปนี้
$ \begin{align} &1. y=4x^3+5x^2+6x+1 & & 2. y= (x^3+4)(x^6+5x^3+2x+1) \\ & 3. y=\frac{7x+8}{9x^2+1} & & 4. y = \frac{(7x+8)(2x^3+4)}{x^2+5} \end{align} $
วิธีทำ1
วิธีทำ2
วิธีทำ3

แบบฝึกหัด


$ \begin{align} &1. จงหาอนุพันธ์ด้านซ้ายของฟังก์ชัน f(x) = |x-2| ที่ x= 2 & & 2. จงหาอนุพันธ์ด้านขวาของฟังก์ชัน f(x) = |1- 2 x| ที่ x= \frac{1}{2} \\ & ให้ y=f(x) จงหา \frac{dy}{dx} เมื่อ \\ & 3. y= 1-x+x^2-\frac{x^4}{5} & & 4. y= (x^2-1)(\frac{x^3}{6}+4x^2+5) \\ &5. y=\frac{x^2+1}{x^4+x^2+5} & & 6. y= 3x^2+1 +\frac{2x+1}{3x^2+4} \\ &ให้ s=f(t) จงหา \frac{ds}{dt} เมื่อ \\ & 7. s=10t^2+5t+6& & 8. s=\frac{1}{t}+3t+4 \\ & 9. s=(t^2+1)(10t+7) & & 10. s=\frac{1-t}{t^2+9} \\ \end{align} $