อนุพันธ์อันดับสูง
ให้ $y$เป็นฟังก์ชันของ $x$ เขียนแทนด้วย $ y=f(x)$ จะได้ว่า $\frac{dy}{dx} = f'(x) $ ก็จะเป็นฟังก์ชันของ$x$
ดังนั้น เราสามารถหาอนุพันธ์ $\frac{dy}{dx} = f'(x) $ เทียบกับ $x$ ซึ่งจะเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสอง ของฟังก์ชัน $y= f(x)$
เขียนแทนด้วย
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = y'' =f''(x) = f^{(2)}(x) =\frac{d^2 f(x) }{dx^2} $$
ในทำนองเดียวกัน จะเขียนแทน อนุพันธ์ อันดับ $n $ ( เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับ ) ของฟังก์ชัน $y= f(x)$ ดัวย
$$ \frac{d^n y}{dx^n} = y^{(n)} = f^{(n)}(x) = \frac{d^n f(x) }{dx^n} $$
ตัวอย่าง
ให้ $y = x^3 $ จะได้ว่า
$
\begin{align}
& \frac{dy}{dx} = 3x^2 \\
& \frac{d^2 y}{dx^2} = 3 \cdot 2 x \\
& \frac{d^3 y}{dx^3} = 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
& \frac{d^4 y}{dx^4} = 0 \\
& ได้ว่า \frac{d^n y}{dx^n} = 0 \quad เมื่อ \quad n \geq 4 \\
\end{align}
$
ตัวอย่าง
ให้ $y = \sin x $ จะได้ว่า
$
\begin{align}
& \frac{dy}{dx} = \cos x \\
& \frac{d^2 y}{dx^2} = - \sin x \\
& \frac{d^3 y}{dx^3} = - \cos x \\
& \frac{d^4 y}{dx^4} = \sin x \\
& \frac{d^5 y}{dx^5} = \cos x \\
\end{align}
$
ตัวอย่าง
ให้ $y = e^ x $ จะได้ว่า
$
\begin{align}
& \frac{dy}{dx} = e^ x \\
& \frac{d^2 y}{dx^2} = e^ x \\
& ได้ว่า \frac{d^n y}{dx^n} = e^x \quad เมื่อ \quad n \geq 1 \\
\end{align}
$
อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย
จากสมการ $F(x,y)=0 $ ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่า ตัวแปร $x ,y $ เราสามารกำหนดขอบเขต เพื่อทำให้ $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x $ (y=f(x) )ที่สอดคล้องกับสมการ $F(x,y)=0 $ ได้
เราจึงสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=f(x)$ ซึ่งสามารถหาได้จาก สมการ $F(x,y)=0 $ดังนี้
ตัวอย่าง
ให้ $y=f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องสมการ $x^2+y^2=1 $ จงหา $\frac{dy}{dx}$
$
\begin{align}
& \frac{d}{dx} (x^2+y^2) = \frac{d}{dx}1 \\
& \frac{d}{dx} x^2+\frac{d}{dx} y^2 = 0 \\
& 2x +2y\frac{dy}{dx} = 0 \\
& ดังนั้น \quad \frac{d y}{dx} = -\frac{2x}{2y} = - \frac{x}{y} \\
\end{align}
$
ตัวอย่าง
ให้ $y=f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องสมการ $x \sin y +y \cos x = x+e^x $ จงหา $\frac{dy}{dx}$
$
\begin{align}
& \frac{d}{dx} (x \sin y +y \cos x ) = \frac{d}{dx} (x+e^x) \\
& \frac{d}{dx} x \sin y +\frac{d}{dx} y \cos x = 1+e^x \\
& x \cos y \frac{dy}{dx} + \sin y + y (-\sin x )+\cos x \frac{dy}{dx} = 1+e^x \\
& (x \cos y + \cos x )\frac{d y}{dx} = 1+e^x - \sin y +y \sin x \\
& ดังนั้น \quad \frac{d y}{dx} = \frac{1+e^x - \sin y +y \sin x}{ x \cos y + \cos x} \\
\end{align}
$
อนุพันธ์ของสมการอิงตัวแปรเสริม
ให้ $ x,y $ เป็นฟังก์ชัน $t$ ที่สอดคล้องสมการ $x=f(t) $ และ $y=g(t)$
ถ้า $D_f \cap D_g \neq \phi $ เมื่อ $D_f $ คือ โดเมน ของ $f$ และ $D_g $ คือ โดเมน ของ $g$
แล้ว แต่ละค่า $t \in D_f \cap D_g $ จะได้ค่า $x ,y $ ทำให้เกิดฟังก์ชัน $y=y(x)$
เรียก ฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันอิงสมการตัวแปรเสริม เรียกตัวแปร $t$ ว่า ตัวแปรเสริม
และถ้า $\frac{dx}{dt}=f'(t) $ และ $\frac{dy}{dt}=g'(t)$ หาค่าได้ ที่ $t \in D_f \cap D_g $ โดยที่
$\frac{dx}{dt}=f'(t) \neq 0 $ แล้วจะได้ว่า
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
และ
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\frac{dy}{dx}}{\frac{dx}{dt}}$$
ตัวอย่าง
ให้ $x= \cos t $ และ $y = \sin t $ จงหา $\frac{dy}{dx}$ และ $\frac{d^2y}{dx^2}$
วิธีทำ
จาก
$
\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
& =\frac{\frac{d}{dt} \sin t }{\frac{d }{dt} \cos t} \\
& = \frac{\cos t}{-\sin t} \\
& = - \cot t \\
\end{align}
$
$
\begin{align}
\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{\frac{d}{dt}\frac{dy}{dx}}{\frac{dx}{dt}} \\
& =\frac{\frac{d }{dt} (- \cot t)}{\frac{d }{dt} (\cos t)} \\
& = \frac{\csc ^2 t}{-\sin t} \\
& = - \csc ^3 t \\
\end{align}
$
แบบฝึกหัด
จงหา $\frac{dy}{dx} , \quad \frac{d^2 y}{dx^2} $ เมื่อ
$
\begin{align}
1. y = \frac{1}{x+1} + \ln x &&
2. y = \sqrt{x+1} + \ln (\tan x ) \\
3. y = e^ { \sin x } + \arcsin x &&
4. y = \cot x + \arctan (x+1) && \\
จงหา \quad \frac{dy}{dx} , \quad \frac{d^{100} y}{dx^{100}} เมื่อ \quad y = f(x) \quad สอดคล้องสมการต่อไปนี้ \\
5. y = \frac{1}{1-2x} &&
6. y = \sin x + \ln (2x+1) \\
จงหา \quad \frac{dy}{dx} \quad เมื่อ \quad y = f(x) \quad สอดคล้องสมการต่อไปนี้ \\
7. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = x^2 + 1 &&
8. \sqrt{x+y} = 1+x^2+y^2 \\
9. e^{x+y} = \ln (x+y) &&
10. x \sin (x+y) + y \cos x = 1 \\
จงหา \quad \frac{dy}{dx} , \quad \frac{d^2 y}{dx^2} \quad จากสมการอิงตัวแปรเสริมต่อไปนี้ \\
11. x = 5 \cos t , \quad y = 5 \sin t &&
12. x = 2 \cos t - \cos 2t , \quad y = 2 \sin t + \sin 2t \\
13. x = e^t + \ln t , \quad y = t \ln t &&
14. x = e^t \cos t , \quad y = e^t \sin t \\
\end{align}
$