โลปิตาล
ทฤษฎีบทของโรลล์
ให้ $y =f(x) $ มีความต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a, b] $ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b) $
ถ้า $f(a) = 0 = f(b) $ แล้ว จะมีค่า $c \in (a,b) $ ซึ่ง $f'(c) = 0 $
ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
ให้ $y =f(x) $ มีความต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a, b] $ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b) $
ดังนั้น จะมีค่า $c \in (a,b) $ ซึ่ง $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
ทฤษฎีบทของโคขี
ให้ $f(x) $ และ $g(x) $ มีความต่อเนื่องบนช่วงปิด $[a, b] $ และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b) $
ถ้า $g'(x) \neq 0 $ แล้ว จะมีค่า $c \in (a,b) $ ซึ่ง $$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $$
ทฤษฎีบทของ โลปิตาล รูปแบบ $\frac{0}{0} $
ให้ $f(x) $ และ $g(x) $ หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b) $
ถ้า $g'(x) \neq 0 $ ทุก $x \in (a,b) $
ถ้า $c \in (a,b) $ ซึ่ง $$ \lim_{x \to c } f(x) = 0 = \lim_{x \to c } g(x) \quad และ \\ \lim_{x \to c } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$ เมื่อ $L $ เป็นจำนวนจริง
แล้วจะได้ว่า
$$ \lim_{x \to c } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$
ทฤษฎีบทของ โลปิตาล รูปแบบ $\frac{\infty}{\infty} $
ให้ $f(x) $ และ $g(x) $ หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(a,b) $
ถ้า $g'(x) \neq 0 $ ทุก $x \in (a,b) $
ถ้า $c \in (a,b) $ ซึ่ง $$ \lim_{x \to c } f(x) = \pm \infty = \lim_{x \to c } g(x) \quad และ \\ \lim_{x \to c } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$ เมื่อ $L $ เป็นจำนวนจริง
แล้วจะได้ว่า
$$ \lim_{x \to c } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$
ทฤษฎีบทของ โลปิตาล รูปแบบ $\frac{0}{0} $
ให้ $f(x) $ และ $g(x) $ หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(M,\infty) $ บางจำนวนจริง $M $
ถ้า $g'(x) \neq 0 $ ทุก $x \in (M,\infty) $
ถ้า $$ \lim_{x \to \infty } f(x) = 0 = \lim_{x \to \infty } g(x) \quad และ \\ \lim_{x \to \infty } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$ เมื่อ $L $ เป็นจำนวนจริง
แล้วจะได้ว่า
$$ \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$
ทฤษฎีบทของ โลปิตาล รูปแบบ $\frac{\infty}{\infty} $
ให้ $f(x) $ และ $g(x) $ หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $(M,\infty) $ บางจำนวนจริง $M $
ถ้า $g'(x) \neq 0 $ ทุก $x \in (M,\infty) $
ถ้า $$ \lim_{x \to \infty } f(x) = \pm \infty = \lim_{x \to \infty } g(x) \quad และ \\ \lim_{x \to \infty } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$ เมื่อ $L $ เป็นจำนวนจริง
แล้วจะได้ว่า
$$ \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (\pm \infty ) $$
ตัวอย่าง
จงหาค่า ลิมิต ต่อไปนี้
$ \begin{align}
&1. \lim_{x \to 1} \frac{x^7-1}{x^4-1} & &
2. \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{\cot x} \\
& 3. \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} & &
4. \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x^3} \\
&5. \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x+1}{3x^2+4} & &
6. \lim_{x \to - \infty } \frac{\ln |x| } {x^2} \\
\end{align}
$
รูปแบบยังไม่กำหนด $0 \cdot \infty , \quad \infty - \infty $
การหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบ $0 \cdot \infty , \quad \infty - \infty $ ใช้เทคนิดในการแปลงให้อยู่ในรูปแบบ $\frac{0}{0} \quad หรือ \quad \frac{\infty}{\infty}$
ตัวอย่าง
จงหาค่า ลิมิต ต่อไปนี้
$ \begin{align}
&1. \lim_{x \to 0} \sin 6x \cot 2x & &
2. \lim_{x \to 0^{+} } \sin x \ln x \\
& 3. \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+x+1} - x & &
4. \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x - \sec x \\
\end{align}
$
วิธีทำ3
วิธีทำ4
รูปแบบยังไม่กำหนด $0^0 , \infty ^0 , 1^{\infty} $
การหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน $y=f(x)^{g(x)} $ที่อยู่ในรูปแบบ $0^0 , \infty ^0 , 1^{\infty} $ ทำได้ดังนี้
จาก $y=f(x)^{g(x)} $ จะได้ $\ln y = g(x) \cdot \ln f(x) $ ซึ่งจะทำให้ ลิมิต $\ln y $ อยู่ในรูปแบบ $0 \cdot \infty $ จากนั้นก็จัดอยู่ในรูปแบบ $\frac{0}{0} \quad หรือ \quad \frac{\infty}{\infty}$
ตัวอย่าง
จงหาค่า ลิมิต ต่อไปนี้
$ \begin{align}
&1. \lim_{x \to 0^{+}} (\sin x )^x \\
& 2. \lim_{x \to \infty } x^{\frac{2}{x}} \\
& 3. \lim_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{2}{x} +\frac{3}{x^2} \right ) ^x \\
\end{align}
$
วิธีทำ1
วิธีทำ2
วิธีทำ3
แบบฝึกหัด
จงหาค่า ลิมิต ต่อไปนี้
$ \begin{align}
&1. \lim_{x \to 1} \frac{x^5-1}{x^8-1} & &
2. \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos x}{3 x^2} \\
& 3. \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^2-1} & &
4. \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1-x}{x^3} \\
&5. \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+3x^2+1}{5x^3+4} & &
6. \lim_{x \to - \infty } \frac{\ln |x| } {x^4} \\
&7. \lim_{x \to 0} \sin 5x \cot 3x & &
8. \lim_{x \to 0^{+} } \sin ^2 x \ln x \\
& 9. \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^4+x^2+1} - x^2 & &
10. \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \tan 2x - \sec 2x \\
&11. \lim_{x \to 0^{+}} (\sin 2x )^x &&
12. \lim_{x \to \infty } x^{\frac{3}{x}} \\
& 13. \lim_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{3}{x} +\frac{4}{x^3} \right ) ^x \\
\end{align}
$