• $ Ax^{2}+By^{2}+Cz =0 $ เมื่อ $ A,B > 0 ,C \neq 0 $
• $ Ax^{2}+By +Cz^{2}=0 $ เมื่อ $ A,C > 0 ,B \neq 0 $
• $ Ax +By^{2}+Cz^{2}=0 $ เมื่อ $ B,C > 0 ,A \neq 0 $

• $ \frac{x^{2} }{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} = cz $ เมื่อ $ a,b > 0 ,c \neq 0 $
• $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}= by $ เมื่อ $ a,c > 0 ,b \neq 0 $
• $ \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = ax $ เมื่อ $ b,c > 0 ,a \neq 0 $

พาราโบลอยด์เชิงวงรี หรือ พาราโบลอยด์

จุดตัดแกน

• เมื่อแทนค่า $y=0$ และ $z=0$ ลงในสมการจะได้สมการ $\frac{x^{2}}{a^{2}}= 0 $ ซึ่งจะได้ค่า $x=0$
  ดังนั้น จุดตัดแกน $ x $ คือ จุด $ (0,0,0) $
• เมื่อแทนค่า $x=0$ และ $z=0$ ลงในสมการจะได้สมการ $ \frac{y^{2}}{b^{2}}=0 $ ซึ่งจะได้ค่า $y=0 $
  ดังนั้น จุดตัดแกน $ y $ คือ จุด $ (0,0,0) $
• เมื่อแทนค่า $x=0$ และ $y=0$ ลงในสมการจะได้ $ z = 0 $
  ดังนั้น จุดตัดแกน $ z $ คือ จุด $ (0,0,0) $

ภาพตัดขวางบนระนาบพิกัด

• ระนาบ $xy$
แทนค่า $z=0$ ในสมการจะได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 $ ซึ่งจะได้ $ x=y=0 $
ดังนั้น ภาพตัดขวางได้กราฟ หนึ่งจุด $(0,0,0) $
• ระนาบ $xz$
แทนค่า $y=0$ ในสมการจะได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}= z $ หรือ $ x^{2}=a^{2} z $ ซึ่งจะมีกราฟเป็น รูปพาราโบลาหงาย มีแกนพาราโบลาคือแกน $z$
• ระนาบ $yz$
แทนค่า $x=0$ ในสมการจะได้ $ \frac{y^{2}}{b^{2}} = z $ หรือ $ y^{2} = b^{2} z $ ซึ่งจะมีกราฟเป็น รูปพาราโบลาหงาย มีแกนพาราโบลาคือแกน $z$

ภาพตัดขวางที่ขนานกับระนาบพิกัด

• ขนานระนาบ $xy$
ที่ $z=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า ในสมการได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= k $
• $ k < 0 $
จะไม่มีกราฟ
• $ k > 0 $
จัดสมการใหม่ได้ $ \frac{x^{2}}{ka^{2}}+\frac{y^{2}}{k b^{2}} = 1 $ ซึ่งมีกราฟเป็นรูปวงรี
• ขนานระนาบ $xz$
ที่ $y=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า $y=k $ ในสมการได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{b^{2}} = z $ หรือ
$ x^{2} = a^{2}(z-\frac{k^{2}}{b^{2}}) $
ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปพาราโบลาหงาย แกนพาราโบลาขนานแกน $ z $
• ขนานระนาบ $yz$
ที่ $x=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า $x=k $ ในสมการได้ $ \frac{k^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= z $ หรือ
$ y^{2} = b^{2} (z - \frac{k^{2}}{a^{2}}) $
ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปพาราโบลาหงาย แกนพาราโบลาขนานแกน $ z $

กราฟของพาราโบลอยด์

สรุป

$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

$-z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

$y=\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}$

$-y=\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}$

$x=\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$

$-x=\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$