• $ -Ax^{2}-By^{2}+Cz^{2}=D $
• $ -Ax^{2}+By^{2}-Cz^{2}=D $
• $ Ax^{2}-By^{2}-Cz^{2}=D $

• $ -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $
• $ -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
• $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $

ไฮเพอร์โบลอยด์สองชิ้น

จุดตัดแกน

• เมื่อแทนค่า $y=0$ และ $z=0$ ลงในสมการจะได้สมการ $-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1 $ ซึ่งจะไม่มีค่า $x$ ที่สอดคล้องสมการจึงได้ว่า
  ไม่มีจุดตัดแกน $x$
• เมื่อแทนค่า $x=0$ และ $z=0$ ลงในสมการจะได้สมการ $-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ ซึ่งจะไม่มีค่า $y$ ที่สอดคล้องสมการจึงได้ว่า
  ไม่มีจุดตัดแกน $y$
• เมื่อแทนค่า $x=0$ และ $y=0$ ลงในสมการจะได้สมการ
  $\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ ซึ่งจะได้ $ z = \pm c$ ดังนั้น จุดตัดแกน $ z$ มีสองจุุดคือจุด$ (0,0,\pm c) $

ภาพตัดขวางบนระนาบพิกัด

• ระนาบ $xy$
แทนค่า $z=0$ ในสมการจะได้ $ -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 $ ซึ่งจะไม่มีกราฟ
• ระนาบ $xz$
แทนค่า $y=0$ ในสมการจะได้ $ -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานแกน $ z $
• ระนาบ $yz$
แทนค่า $x=0$ ในสมการจะได้ $ -\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานแกน $ z $

ภาพตัดขวางที่ขนานกับระนาบพิกัด

• ขนานระนาบ $xy$
ที่ $z=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า ในสมการได้ $ -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{k^{2}}{c^{2}}=1 $ หรือ
$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{k^{2}}{c^{2}}-1 $
• กรณี $ k^{2}=c^{2} $ หรือ $k = \pm c$
สมการข้างต้นเป็น $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 $
ซึ่งจะไดกราฟ เป็นจุด หนึ่งจุด คือจุด $(0,0,\pm k)$
• กรณี $ k^{2} < c^{2} $ หรือ $ -c < k < c $
สมการข้างต้นเป็น $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{k^{2}}{c^{2}}-1 < 0 $
ซึ่งจะไม่มีกราฟ
• กรณี $ k^{2} > c^{2} $ หรือ $ k< -c , k > c $
สมการข้างต้นเป็น $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{k^{2}}{c^{2}}-1 $
หรือ $ \frac{x^{2}}{a^{2}(\frac{k^{2}}{c^{2}}-1)}+\frac{y^{2}}{b^{2} (\frac{k^{2}}{c^{2}}-1)} = 1 $
ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปวงรี
• ขนานระนาบ $xz$
ที่ $y=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า $y=k $ ในสมการได้ $ -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{k^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ หรือ
$ -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1+\frac{k^{2}}{b^{2}} $
$ -\frac{x^{2}}{a^{2}(1+\frac{k^{2}}{b^{2}})}+\frac{z^{2}}{c^{2} (1+\frac{k^{2}}{b^{2}})} = 1 $
ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปไฮเพอร์โบลา
• ขนานระนาบ $yz$
ที่ $x=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า $x=k $ ในสมการได้ $ -\frac{k^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ หรือ
$ -\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1+\frac{k^{2}}{a^{2}} $
$ -\frac{y^{2}}{b^{2}(1+\frac{k^{2}}{a^{2}})}+\frac{z^{2}}{c^{2} (1+\frac{k^{2}}{a^{2}})} = 1 $
ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปไฮเพอร์โบลา

กราฟของผิวไฮเพอร์โบลอยด์สองชิ้น

กราฟของผิวไฮเพอร์โบลอยด์สองชิ้น