• $ -Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=D $
• $ Ax^{2}-By^{2}+Cz^{2}=D $
• $ Ax^{2}+By^{2}-Cz^{2}=D $

• $ -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $
• $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
• $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $

ไฮเพอร์โบลอยด์หนึ่งชิ้น

จุดตัดแกน

• เมื่อแทนค่า $y=0$ และ $z=0$ ลงในสมการจะได้จุดตัดแกน$x$ สองจุดคือจุด $ (\pm a,0,0) $
• เมื่อแทนค่า $x=0$ และ $z=0$ ลงในสมการจะได้จุดตัดแกน $y$ สองจุุดคือจุด$ (0,\pm b,0) $
• เมื่อแทนค่า $x=0$ และ $y=0$ ลงในสมการจะได้สมการ
  $-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ซึ่งจะไม่มีค่า $z$ ที่สอดคล้องสมการจึงได้ว่า
  ไม่มีจุดตัดแกน $z$

ภาพตัดขวางบนระนาบพิกัด

• ระนาบ $xy$
แทนค่า $z=0$ ในสมการจะได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 $ ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปวงรี
• ระนาบ $xz$
แทนค่า $y=0$ ในสมการจะได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปไฮเพอร์โบลา
• ระนาบ $yz$
แทนค่า $x=0$ ในสมการจะได้ $ \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ ซึ่งจะมีกราฟเป็นรูปไฮเพอร์โบลา

ภาพตัดขวางที่ขนานกับระนาบพิกัด

• ขนานระนาบ $xy$
ที่ $z=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า ในสมการได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{k^{2}}{c^{2}}=1 $ หรือ
$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1+\frac{k^{2}}{c^{2}} $
$ \frac{x^{2}}{a^{2}(1+\frac{k^{2}}{c^{2}})}+\frac{y^{2}}{b^{2}(1+\frac{k^{2}}{c^{2}})} = 1 $
ซึ่งจะได้กราฟเป็นวงรี
• ขนานระนาบ $xz$
ที่ $y=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า $y=k $ ในสมการได้ $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{k^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ หรือ
$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1-\frac{k^{2}}{b^{2}} $
• จะเป็นเส้นตรงสองเส้นตัดกัน
เมื่อ $|k| = b $ หรือ $ k \pm b $ เพราะ สามารถจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น $ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 0 $ หรือ $ z=\pm \frac{c}{a}x $
• จะได้กราฟเป็นไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานแกน $x$
เมื่อ$|k| < b $ เพราะ สามารถจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น $ \frac{x^{2}}{a^{2}(1-\frac{k^{2}}{b^{2}} )}-\frac{z^{2}}{c^{2}(1-\frac{k^{2}}{b^{2}} )} = 1 $
• จะได้กราฟเป็นไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานแกน $z$
เมื่อ $|k| > b $ หรือ $ k \in (-\infty ,-b) \cup (b, \infty) $ เพราะ สามารถจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น $ \frac{z^{2}}{c^{2}(\frac{k^{2}}{b^{2}}-1 )} -\frac{x^{2}}{a^{2}(\frac{k^{2}}{b^{2}}-1 )} = 1 $
• ขนานระนาบ $yz$
ที่ $x=k $ เมื่อ $ k $ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ แทนค่า $x=k $ ในสมการได้ $ \frac{k^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 $ หรือ
$ \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1-\frac{k^{2}}{a^{2}} $
• จะเป็นเส้นตรงสองเส้นตัดกัน
เมื่อ $|k| = a $ หรือ $ k \pm a $ เพราะ สามารถจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น $ \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 0 $ หรือ $ z=\pm \frac{c}{b} y $
• จะได้กราฟเป็นไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานแกน $y$
เมื่อ$|k| < a $ เพราะ สามารถจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น $ \frac{y^{2}}{b^{2}(1-\frac{k^{2}}{a^{2}} )}-\frac{z^{2}}{c^{2}(1-\frac{k^{2}}{a^{2}} )} = 1 $
• จะได้กราฟเป็นไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานแกน $z$
เมื่อ $|k| > a $ หรือ $ k \in (-\infty ,-a) \cup (a, \infty) $ เพราะ สามารถจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น $ \frac{z^{2}}{c^{2}(\frac{k^{2}}{a^{2}}-1 )} -\frac{y^{2}}{b^{2}(\frac{k^{2}}{a^{2}}-1 )} = 1 $

กราฟของผิวไฮเพอร์โบลอยด์หนึ่งชิ้น