การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
จากอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
จึงได้ว่า
$$ \int f'(g(x)) \cdot g'(x) dx = f(g(x)) + C $$
ดังนั้น ถ้าให้ $u = g(x) $ จะได้ว่า $du = g'(x)dx $ และ $$ \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du $$
ตัวอย่าง
จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้
$
\begin{align}
& 1. \int (2x+3)^5 dx &&
2. \int \sin (7x+6) dx \\
& 3. \int \frac{x}{\sqrt{1-5x^2}} dx &&
4. \int x^2 e^{x^3} dx \\
\end{align}
$
วิธีทำ 1
วิธีทำ 2
วิธีทำ 3
วิธีทำ 4
การหาปริพันธ์ทีละส่วน
จากอนุพันธ์ของผลคูณฟังก์ชัน
ถ้า $u,v$ เป็นฟังก์ชัน ของ $x$ ที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า
$$ d u \cdot v = u \cdot dv + v \cdot du $$
จึงได้ว่า
$$ u \cdot v = \int u \cdot dv + \int v \cdot du $$
หรือ $$ \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $$
ตัวอย่าง
จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้
$
\begin{align}
& 1. \int x e^x dx &&
2. \int x \sin x dx \\
& 3. \int x \ln x dx &&
4. \int x^2 \cos x dx \\
& 5. \int \ln x dx &&
6. \int \arcsin x dx \\
& 7. \int e^x \sin x dx &&
8. \int \sin (\ln x) dx \\
\end{align}
$
วิธีทำ 1
วิธีทำ 2
วิธีทำ 3
วิธีทำ 6
วิธีทำ 7
แบบฝึกหัด
จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้
$
\begin{align}
&1. \int \frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+1}} dx & &
2. \int \sin 2x \cos 2x dx \\
&3. \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx & &
4. \int (2+\tan x)^3 \sec ^2 x dx \\
& 5. \int x^2 e^x dx & &
6. \int e^x \cos x dx \\
& 7. \int \frac{\ln x}{x^3} dx & &
8. \int \arctan 2x dx \\
& 9. \int \sin (\sqrt{x} ) dx & &
10. \int x \ln (x+2) dx \\
& 11. \int ( \ln x )^2 dx & &
12. \int \cos ( \ln 2x ) dx \\
\end{align}
$