ปริพันธ์ฟังก์ชันตรรกยะ
ฟังก์ชันตรรกยะ เป็นฟังก์ชันในรูปแบบ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ เมื่อ $P(x),Q(x)$ เป็นพหุนามฟังก์ชัน
ในการหาปริพันธ์ฟังก์ชันตรรกยะ จะพิจารณา อันดับ ของ $P(x)$ และ อันดับของ $Q(x)$ คือ
1. ถ้าอันดับของ $P(x) $ มากกว่าหรือเท่ากับ อันดับของ $Q(x) $ ให้ หารยาว ได้ $$\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$$ เมื่อ $S(x)$ เป็นพหุนาม และ $R(x)$ เป็นเศษที่ได้จากการหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่อันดับ $R(x)$ น้อยกว่า อันดับ $Q(x)$
จากนั้นจะใช้เทคนิคการทำเป็นเศษส่วนย่อย สำหรับ $\frac{R(x)}{Q(x)}$
2. ถ้าอันดับของ $P(x) $ น้อยกว่า อันดับของ $Q(x) $ จะใช้ เทคนิคการทำเป็นเศษส่วนย่อยได้ทันที
เทคนิคการทำเป็นเศษส่วนย่อย
แยกตัวประกอบของ $Q(x)$ ซึ่งจะได้ตัวประกอบในรูป $ax+b $ หรือ $Ax^2+Bx+C$ เมื่อ $B^2-4AC < 0 $ ต่อไป พิจารณาเศษส่วนย่อยจากตัวประกอบ ดังนี้
1. ถ้ามี $(ax+b)^m $ เป็นตัวประกอบของ $Q(x)$ แล้ว จะมีเศษส่วนย่อย $m$ เศษส่วนย่อยในรูปแบบ
$$ \frac{A_1}{ax+b} +\frac{A_2}{(ax+b)^2}+ \dots +\frac{A_m}{(ax+b)^m}$$
2. ถ้ามี $(Ax^2+BX+C)^n $ เป็นตัวประกอบของ $Q(x)$ แล้ว จะมีเศษส่วนย่อย $n$ เศษส่วนย่อยในรูปแบบ
$$ \frac{A_1x+B_1}{Ax^2+BX+C} +\frac{A_2x+B_2}{(Ax^2+BX+C)^2}+ \dots +\frac{A_nx+B_n}{(Ax^2+BX+C)^n}$$
จากนั้น หาค่าคงตัว แล้วหาปริพันธ์ของผลบวกเศษส่วนย่อยทั้งหมด ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง
$
\begin{align}
&1. \int \frac{x^4+1}{x^2-1} dx && 2. \int \frac{x+5}{x^3-4x} dx\\
&3. \int \frac{x^3+1}{x^2+1} dx && 4. \int \frac{x+4}{x^3+x} dx \\
&5 \int \frac{(x^2+1)(x^2+3)}{(x^2+2)(x^2+4)} dx \\
\end{align}
$
วิธีทำ 1
วิธีทำ 2
วิธีทำ 3
วิธีทำ 4
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้
แบบฝึกหัด
$
\begin{align}
&1. \int \frac{x^5+1}{x^2-9} dx && 2. \int \frac{x+7}{9x^3-4x} dx \\
&3. \int \frac{x^3+1}{x^2+x+1} dx && 4. \int \frac{x+4}{x^4+x^2} dx \\
&5 \int \frac{(x^2+2)(x^2+5)}{(x^2+6)(x^2+7)} dx && 6. \int \frac{3x+5}{x^2+4x+5} dx \\
&7. \int \frac{12}{x^4+x^3-x+1 } dx && 8. \int \frac{1}{x^4+1} dx \\
&9. \int \frac{3x^2-9x+8}{(x-1)^2 (x-2)^2 } dx && 10. \int \frac{1}{(x+1)^2 (x-2)^3} dx \\
\end{align}
$