ปริพันธ์ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ
$
\begin{align}
& \int \sin ^m x \cos ^n x dx
&& \int \tan ^m x \sec ^n x dx
&& \int \cot ^m x \csc ^n x dx \\
& \int \sin m x \sin n x dx
&& \int \sin m x \cos n x dx
&& \int \cos m x \cos n x dx \\
\end{align}
$
$ \int \sin ^m x \cos ^n x dx $
กรณี m เป็นจำนวนนับคี่
ใช้การเปลี่ยนตัวแปรโดย ให้ $ u = \cos x $
ดังนั้น $ du = - \sin x dx $ อาจต้องใช้เอกลักษณ์ $ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
เปลี่ยน ปริพันธ์ $ \int \sin ^m x \cos ^n x dx $ เป็นปริพันธ์ในตัวแปร $u$
กรณี n เป็นจำนวนนับคี่
ใช้การเปลี่ยนตัวแปรโดย ให้ $ u = \sin x $
ดังนั้น $ du = \cos x dx $ อาจต้องใช้เอกลักษณ์ $ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
เปลี่ยน ปริพันธ์ $ \int \sin ^m x \cos ^n x dx $ เป็นปริพันธ์ในตัวแปร $u$
กรณี m และ n เป็นจำนวนนับคู่
จะใช้เอกลักษณ์ตรีโกณ
$
\begin{align}
& \sin ^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} \\
& \cos ^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}\\
\end{align}
$
ลดทอนกำลังของ $ \sin ^m x $ และ $ \cos ^n x $ เป็นกำลังของ $\cos 2x $
ตัวอย่าง
จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้
$
\begin{align}
& 1. \int \sin x \cos ^4 x dx && 2. \int \sin^2 x \cos ^5 x dx\\
& 3. \int \sin^7 x \cos ^3 x dx && 4. \int \sin^2 x \cos ^4 x dx\\
\end{align}
$
วิธีทำ 1
วิธีทำ 4
$ \int \tan ^m x \sec ^n x dx $
กรณี n เป็นจำนวนนับคู่
ใช้การเปลี่ยนตัวแปรโดย ให้ $ u = \tan x $
ดังนั้น $ du = \sec ^2 x dx $ อาจต้องใช้เอกลักษณ์ $ \sec ^2 x = 1+ \tan ^2 x $
เปลี่ยน ปริพันธ์ $ \int \tan ^m x \sec ^n x dx $ เป็นปริพันธ์ในตัวแปร $u$
กรณี m เป็นจำนวนนับคี่
ใช้การเปลี่ยนตัวแปรโดย ให้ $ u = \sec x $
ดังนั้น $ du = \sec x \tan x dx $ อาจต้องใช้เอกลักษณ์ $ \sec ^2 x = 1+ \tan ^2 x $
เปลี่ยน ปริพันธ์ $ \int \tan ^m x \sec ^n x dx $ เป็นปริพันธ์ในตัวแปร $u$
กรณี m เป็นจำนวนนับคู่ และ n เป็นจำนวนนับคี่
ปริพันธ์ $ \int \tan ^m x \sec ^n x dx $ ต้องใช้เทคนิคการหาปริพันธ์ทีละส่วน
$ \int \cot ^m x \csc ^n x dx $
กรณี n เป็นจำนวนนับคู่
ใช้การเปลี่ยนตัวแปรโดย ให้ $ u = \cot x $
ดังนั้น $ du = - \csc ^2 x dx $ อาจต้องใช้เอกลักษณ์ $ \csc ^2 x = 1+ \cot ^2 x $
เปลี่ยน ปริพันธ์ $ \int \cot ^m x \csc ^n x dx $ เป็นปริพันธ์ในตัวแปร $u$
กรณี m เป็นจำนวนนับคี่
ใช้การเปลี่ยนตัวแปรโดย ให้ $ u = \csc x $
ดังนั้น $ du = -\csc x \cot x dx $ อาจต้องใช้เอกลักษณ์ $ \csc ^2 x = 1+ \cot ^2 x $
เปลี่ยน ปริพันธ์ $ \int \cot ^m x \csc ^n x dx $ เป็นปริพันธ์ในตัวแปร $u$
กรณี m เป็นจำนวนนับคู่ และ n เป็นจำนวนนับคี่
ปริพันธ์ $ \int \cot ^m x \csc ^n x dx $ ต้องใช้เทคนิคการหาปริพันธ์ทีละส่วน
ตัวอย่าง
จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้
$
\begin{align}
& 1. \int \tan ^4 x \sec ^2 x dx && 2. \int \tan^3 x \sec ^5 x dx\\
& 3. \int \tan ^3 x \sec ^6 x dx && 4. \int \tan ^2 x \sec x dx\\
& 5. \int \cot ^4 x \csc ^2 x dx && 6. \int \cot^3 x \csc ^5 x dx\\
& 7. \int \cot ^3 x \csc ^6 x dx && 8. \int \cot ^2 x \csc x dx\\
\end{align}
$
วิธีทำ 1
วิธีทำ 4
$ \int \sin m x \sin n x dx , \quad \int \sin m x \cos n x dx ,\quad \int \cos m x \cos n x dx
$
ใช้เอกลักษณ์ฟังก์ชันตรีโกณ ( เปลี่ยนผลคูณเป็นผลบวก) ดังนี้
$
\begin{align}
\sin mx \cos nx & = \frac{1}{2} [\sin (m+n) x + \sin (m-n) x ] \\
\sin mx \sin nx & = \frac{1}{2} [\cos (m-n) x - \cos (m+n) x ] \\
\cos mx \cos nx & = \frac{1}{2} [\cos (m-n) x + \cos (m+n) x ] \\
\end{align}
$
ตัวอย่าง
จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้
$
\begin{align}
& 1. \int \sin 2x \cos 5x dx && 2. \int \sin 3x \sin 4x dx\\
& 3. \int \cos 3x \cos 6 x dx && 4. \int \sin 2x \sin 3x \cos 4x dx\\
\end{align}
$
วิธีทำ1
วิธีทำ4
แบบฝึกหัด
จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้
$
\begin{align}
& 1. \int \sin^3 x \cos ^2 x dx && 2. \int \sin^4 x \cos ^3 x dx\\
& 3. \int \sin^5 x \cos ^9 x dx && 4. \int \sin^4 x \cos ^2 x dx\\
& 5. \int \tan ^6 x \sec ^2 x dx && 6. \int \tan^5 x \sec ^7 x dx\\
& 7. \int \tan ^5 x \sec ^8 x dx && 8. \int \sec ^3 x dx\\
& 9. \int \cot ^2 x \csc ^4 x dx && 10. \int \cot^3 x \csc ^7 x dx\\
& 11. \int \cot ^3 x \csc ^8 x dx && 12. \int \csc^3 x dx\\
& 13. \int \sin 3x \cos 7x dx && 14. \int \sin 4x \sin 8x dx\\
& 15. \int \cos 2x \cos 7 x dx && 16. \int \sin 2x \sin 5x \cos 3x dx\\
\end{align}
$