ปริพันธ์
บทนิยาม
จะเรียกฟังก์ชัน $F(x) $ ว่าเป็นปฎิยานุพันธ์ของ $f(x) $ บนช่วง $I$ ถ้า
$$ F'(x) = f(x) \quad ทุก \quad x \in I $$
ทฤษฎีบท
ถ้า $F(x) $ เป็นปฎิยานุพันธ์ของ $f(x) $ บนช่วง $I$ แล้วปฎิยานุพันธ์ทั่วไปของ $f(x) $ จะอยู่ในรูปแบบ
$$ F(x) + C \quad เมื่อ \quad C เป็นค่าคงตัว $$
ตัวอย่าง
1. $F(x) = \frac{x^2}{2}$ เป็นปฎิยานุพันธ์ของ $f(x) = x $ เพราะ $F'(x) = 2 \cdot \frac{x}{2} = x =f(x) $
ดังนั้น ปฎิยานุพันธ์ทั่วไปของ $f(x) $ คือ $F(x) + C = \frac{x^2}{2}+ C $
2. $F(x) = \sin x $ เป็นปฎิยานุพันธ์ของ $f(x) = \cos x $ เพราะ $F'(x) = \cos x = f(x) $
ดังนั้น ปฎิยานุพันธ์ทั่วไปของ $f(x) $ คือ $F(x) + C = \sin x + C $
3. $F(x) = \arctan x $ เป็นปฎิยานุพันธ์ของ $f(x) = \frac{1}{x^2+1} $ เพราะ $F'(x) = f(x) $
ดังนั้น ปฎิยานุพันธ์ทั่วไปของ $f(x) $ คือ $F(x) + C = \arctan x + C $
หมายเหตุ
จะใช้สัญลักษณ์ $\int f(x) dx $ เขียนแทน ปฎิยานุพันธ์ทั่วไปของ $f(x) $
ดังนั้น จากตัวอย่างดังกล่าวได้ว่า
$
\begin{align}
& 1. \int x dx &&= \frac{x^2}{2}+ C \\
& 2. \int \cos x dx &&= \sin x + C \\
& 3. \int \frac{1}{x^2+1} dx && = \arctan x + C\\
\end{align}
$
เราสามารถหาสูตรของปฎิยานุพันธ์ทั่วไป จาก สูตรอนุพันธ์ได้ ดังต่อไปนี้
$
\begin{align}
& สูตรอนุพันธ์ & &
สูตรปฎิยานุพันธ์ \\
& \frac{d kx }{dx} = k & &
\int k dx = kx+C \quad เมื่อ \quad k เป็นค่าคงตัว \\
& \frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{d}{dx}f(x)+ \frac{d}{dx} g(x) &&
\int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \\
\end{align}
$
จะเรียก การหาปฎิยานุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชัน $f(x)$ ว่า การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)$
ตัวอย่างสูตรต่อไปนี้เป็นสูตรการหาปริพันธ์ที่ได้จากสูตรอนุพันธ์
$
\begin{align}
& \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \quad เมื่อ \quad n \neq -1 & &
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C \\
& \int e^x dx = e^x +C &&
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a } + C \\
& \int \sin x dx = - \cos x +C &&
\int \cos x dx = \sin x + C \\
& \int \sec ^2 x dx = \tan x +C &&
\int \csc ^2 x dx = - \cot x + C \\
& \int \sec x \tan x dx = \sec x +C &&
\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C \\
& \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x +C &&
\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan x + C \\
\end{align}
$
สามารถใช้โปรแกรม SageMath ดังนี้